题目内容

已知球的直径AB=2，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB= $数学公式$ ，则三棱锥A-BCD的体积为________．

$\text{[math]}$
分析：取CD中点E，连接AE、BE，可证出△ACD、△BCD都是等边三角形，并且CD⊥平面ABE，由此将三棱锥A-BCD的体积分为三棱锥C-ABE与三棱锥D-ABE的体积之和，结合题中数据算出△ABE中的面积，用锥体体积公式即可求出三棱锥A-BCD的体积．
解答：∵AB是球的直径，D、C两点在球面上

∴∠ACB=∠ADB=90°
∵AB=2，BC=BD= $\text{[math]}$
∴AC=AD= $\text{[math]}$ =CD
取CD中点E，连接AE、BE
∵等边△ACD中，AE⊥CD，等边△BCD中，BE⊥CD，BE∩AE=E
∴CD⊥平面ABE
∵△ABE中，BE=AE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，AB=2
∴△ABE中的面积S= $\text{[math]}$
由此可得三棱锥A-BCD的体积V=V_C-ABE+V_D-ABE= $\text{[math]}$ S_△ABE•CE+ $\text{[math]}$ S_△ABE•DE= $\text{[math]}$ S_△ABE•CD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出特殊的球内接三棱锥，求它的体积，着重考查了球内接多面体、线面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于基础题．