Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，过点的直线交椭圆于两点， 为中点，连接并延长交椭圆于点，记直线和的斜率为分别为和，且.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当为直角时，求的面积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由已知，设直线，联立椭圆方程可得，则， .

设， ， ，由题意结合韦达定理可得： ， ，故，由得，椭圆方程为： .

（Ⅱ）由题意结合(Ⅰ)的结论可得，点，则 .

由直线垂直的条件可得，可解得.则.

试题解析：

（Ⅰ）由已知，设直线，联立椭圆方程消去可得：

，

则，即.

设， ， ，由韦达定理可得： ，

点为中点，则， ，故，

由得，所以，

故椭圆方程为： .

（Ⅱ）直线，联立椭圆方程消去可得：

，

则，点，

∴ .

∵为直角，∴，可解得.

故 .