题目内容
【题目】已知F1 ， F2分别为椭圆C1： 
（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|= 
． 
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足 
，求实数λ的取值范围．
【答案】
（1）解：令M为（x0，y0），因为M在抛物线C2上，故x02=4y0，①
又|MF1|= 
，则y0+1= ，②
由①②解得x0=﹣ 
，y0= 
椭圆C1的两个焦点为F1（0，1），F2（0，﹣1），
点M在椭圆上，由椭圆定义，得
2a=|MF1|+|MF2|= 
=4
∴a=2，又c=1，
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆C1的方程为 
．
（2）解：∵直线l：y=k（x+t）与圆x2+（y+1）2=1相切
∴ 
=1，即k= 
（t≠0，t±1）
把y=k（x+t）代入 并整理得：
（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
x1+x2= 
，y1+y2=k（x1+x2）+2kt= 
∵ 
=（x1+x2，y1+y2）
∴P（ 
， 
）
又∵点P在椭圆上
∴ 
+ 
=1
∴λ2= 
= 
（t≠0）
∵t2＞0，t2≠1，
∴ 
＞1且 ≠3，
∴0＜λ2＜4且λ2≠ 
∴λ的取值范围为（﹣2，﹣ 
）∪（﹣ ，0）∪（0， ）∪（ ，2）
【解析】（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k= ，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足 
，可得到λ2的表达式，进而求出实数λ的取值范围
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