Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，AB＝BCAD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°.

（1）求证：PD⊥PB；

（2）当PA＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面PAB，由此能证明PD⊥PB；

（2）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解.

（1）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，

∵平面ABCD⊥平面PAD，交线为AD，

∴BA⊥平面PAD，从而BA⊥PD，

∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，

∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面PAB，

∵PB平面PAB，∴PD⊥PB；

（2）∵PA＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，

由平面ABCD⊥平面PAD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD.

又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，

∴.

即三棱锥P﹣BCD的体积为.