Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．

【解析】

试题分析：（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．

（1）当时，函数，

，曲线在点处的切线的斜率为

从而曲线在点处的切线方程为，即 3分

（2）

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

∴， 只需，即时，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是 7分

（3）∵在上是减函数

∴时，；时，，即

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数

当时，，因为，所以，

此时，在内是减函数

故当时，在上单调递减，不合题意

②当时，由，所以

又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数

∴，不合题意 12分

③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，

又在上是减函数，故只需，

而，

即，解得

所以实数的取值范围是 15分．

考点：1．导数的几何意义；2．函数的单调性与导数；3．二次函数的图像与性质；4．分类讨论的思想．