Question

如图2-2-25,已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中,面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F,且B′E=C′F.

图2-2-25

求证:(1)EF∥平面ABCD.

(2)平面ACD′∥平面A′BC′.

Answer 1

思路分析:对于第(1)问,证明直线与平面平行可以从线线平行入手,也可以从面面平行入手来证.而对于第(2)问,一般可以转化为线线平行.

(1)证法一:(由线线平行证线面平行)

过点E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于点M、N,连结MN(如图2-2-26).

图2-2-26

∵BB′⊥平面ABCD,

∴BB′⊥AB,BB′⊥BC.

∴EM∥BB′,FN∥BB′.

∴EM∥FN.

    ∵AB′=BC′,B′E=C′F,∴AE=BF.

又∠B′AB=∠C′BC=45°,

∴Rt△AME≌Rt△BNF.

∴EM=FN.

∴四边形MNFE是平行四边形.

∴EF∥MN.

又MN平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

证法二:(由面面平行证线面平行)

过点E作EG∥AB交BB′于点G,连结GF(如图2-2-27).

图2-2-27

∴.

∵B′E=C′F,B′A=C′B,

∴.∴FG∥B′C∥BC.

又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,

∴平面EFG∥平面ABCD.

又EF平面EFG,∴EF∥平面ABCD.

(2)证明:(由线线平行证面面平行)

如图2-2-28,∵在正方体ABCD—A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥BA′,

图2-2-28

又AD′∩CD′=D′,BC′∩BA′=B,

∴平面ACD′∥平面A′BC′.