Question

【题目】已知 =2（cosωx，cosωx）， =（cosωx， sinωx）（其中0＜ω＜1），函数f（x）= ，
（1）若直线x= 是函数f（x）图象的一条对称轴，先列表再作出函数f（x）在区间[﹣π，π]上的图象．
（2）求函数y=f（x），x∈[﹣π，π]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= =2cos2ωx+2 sinωxcosωx=cos2ωx+ sin2ωx+1=2sin（2ωx+ ）+1，

若直线x= 是函数f（x）图象的一条对称轴，则2ω + =kπ+ ，k∈Z，

即ω= + ，k∈Z，

结合0＜ω＜1，可得ω= ，故f（x）=2sin（x+ ）+1．

列表：

x+	﹣	﹣	0		π
x	﹣π	﹣	﹣			π
y	0	﹣1	1	3	1	0

函数f（x）在[﹣π，π]的图象如图所示：

（2）解：根据x∈[﹣π，π]，可得x+ ∈[﹣ ， ]，sin（x+ ）∈[﹣1，1]，故函数f（x）的值域为[﹣1，3]．

【解析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再用用五点法作函数y=f（x）在区间[﹣π，π]上的图象．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=f（x），x∈[﹣π，π]的值域．