题目内容
【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD= 
，PA=AD=2，AB=BC=1． 
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
【答案】
（1）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，
由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
∵AD⊥平面PAB，∴ 
=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，
∵ 
=（1，1，﹣2）， 
=（0，2，﹣2），
设平面PCD的法向量为 
=（x，y，z），
由 
，得 
，
取y=1，得 =（1，1，1），
∴cos＜ ， ＞= 
= 
，
∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为
（2）解：∵ 
=（﹣1，0，2），设 
=λ =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），
又 
=（0，﹣1，0），则 
= + =（﹣λ，﹣1，2λ），
又 
=（0，﹣2，2），从而cos＜ ， ＞= 
= 
，
设1+2λ=t，t∈[1，3]，
则cos2＜ ， ＞= 
= 
≤ 
，
当且仅当t= 
，即λ= 
时，|cos＜ ， ＞|的最大值为 
，
因为y=cosx在（0， 
）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．
又∵BP= 
= 
，∴BQ= BP= 
【解析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜ ， ＞≤ ，结合函数y=cosx在（0， ）上的单调性，计算即得结论．
