Question

【题目】如果的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.给出下列命题：

①函数具有“性质”；

②若奇函数具有“性质”，且，则；

③若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增；

④若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，都有 成立，则函数是周期函数.

其中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】
∴函数具有“性质”；故①正确；
②∵奇函数具有“性质”，且， 是周期为4的函数， 故②不正确；
③∵若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减， 对称，
∵图象关于点成中心对称， 又 为偶函数，
∵图象关于点成中心对称，且在上单调递减，
∴图象也关于点成中心对称，且在上上单调递减，
根据偶函数的对称得出：在上单调递增；故③正确；
④∵若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质” ，为偶函数，且周期为3，故④正确．

故答案为：①③④．