Question

过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线交椭圆x²+4y²=4于A，B两点，则|AB|的最大值是（　　）

• A．2
• B．4
• C．3
• D．2

  3

Answer 1

分析：设出直线AB所在的直线方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径得到m和直线的斜率的关系式，再把直线方程和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入弦长公式后转化为含有一个字母的函数关系，然后利用基本不等式求最值．

解答：解：设直线AB的方程为y=k（x-m），
由直线AB与圆x²+y²=1相切可知，圆心到直线的距离d=

|km|

k2+1

=1，
化简得k²m²=k²+1．
将直线方程y=k（x-m）代入椭圆方程x²+4y²=4消y，得
（4k²+1）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2m

4k2+1

，x1x2=

4k2m2-4

4k2+1

|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 8k2m 4k2+1 )2-4• 4k2m2-4 4k2+1

=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+3|m|

≤

4 3

2 3

=2
当且仅当|m|=

3

|m|

，即|m|=√3，m=±√3时，取等号
当直线AB与X轴垂直，切点为（±1，0），将x=±1代入椭圆方程求得y=±√3/2
∴此时|AB|=√3＜2
综上，m=±√3，有|AB|最大值2．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论得数学思想方法，训练了弦长公式的应用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的运算能力，是有一定难度题目．