Question

在周长为定值的△ABC中，已知，动点C的运动轨迹为曲线G，且当动点C运动时，cosC有最小值。
（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程；
（2）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交曲线G于M，N两点，将线段MN的长|MN|表示为m的函数，并求|MN|的最大值。

Answer 1

解：（1）设（）为定值，
所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距，
因为
又，
所以，由题意得，
所以C点轨迹G的方程为；
（2）由题意知，|m|≥1；
当m=1时，切线l的方程为x=1，点M，N的坐标分别为，
此时|MN|=；
当m=-1时，同理可知|MN|=，
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），
由得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
设M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，x₁x₂=，
又由l与圆x²+y²=1相切，得=1，即m²k²=k²+1，
所以
=
由于当m=±1时，|MN|=，所以|MN|=，m∈（-∞，-1 ]∪[1，+∞），
因为|MN|=≤2，且当m=±时，|MN|=2，
所以|MN|的最大值为2。