Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）在数列{a_n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，知a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，a_n+1=

n+1

n

a_n+

n+1

n

×

1

2

，所以

an+1

n+1

-

an

n

=

1

2n

，由累加法求出an=2n-

2n

2n

．由此能求出S_n．
（2）假设在数列{a_n}中，存在连续三项a_k-1，a_k，a_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差数列，则a_k-1+a_k+1=2a_k，即[2（k-1）-

2(k-1)

2k-1

]+[2（k+1）-

2(k+1)

2k+1

]=2（2k-

2k

2k

），由此能够推导出在数列{a_n}中，有且仅有连续三项a₂，a₃，a₄成等差数列．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，
∴a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，
a_n+1=

n+1

n

a_n+

n+1

n

×

1

2

，
n×a_n+1=（n+1）a_n+（n+1）×

1

2

∴

an+1

n+1

-

an

n

=

1

2n

，

an

n

-

an-1

n-1

=

1

2n-1

，
…

a2

2

-

a1

1

=

1

2

．
等式两边相加，得：

an

n

-

a1

1

=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

=

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=1-

1

2n-1

，
∴an=2n-

2n

2n

．
∵S_n=2（1+2+3+…+n）-（

2×1

21

+

2×2

22

+…+

2n

2n

）
=n（n+1）-（

2×1

21

+

2×2

22

+…+

2n

2n

）．
设S=

2×1

21

+

2×2

22

+…+

2n

2n

，①
则

1

2

S=

2×1

22

+

2×2

23

+…+

2n

2n+1

，②
①-②，得

1

2

S=1+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n

2n+1

=1+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n

2n+1

=2-

1

2n-1

-

2n

2n+1

，
∴S=4-

4

2n

-

2n

2n

．
∴S_n=n（n+1）-4+

4+2n

2n

．
（2）假设在数列{a_n}中，存在连续三项a_k-1，a_k，a_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差数列，
则a_k-1+a_k+1=2a_k，即[2（k-1）-

2(k-1)

2k-1

]+[2（k+1）-

2(k+1)

2k+1

]=2（2k-

2k

2k

），
即

3-k

2k

=0，∴k=3．
∴在数列{a_n}中，有且仅有连续三项a₂，a₃，a₄成等差数列．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查等差数列的证明．综合性强，难度大，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化