Question

椭圆的两焦点坐标分别为F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)，且椭圆过点(1，-

3

2

)．
（1）求椭圆方程；
（2）过点(-

6

5

，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
∵焦点坐标为F1(-

3

，0)与F2(

3

，0)
∴a²=3+b²①
∵椭圆过点(1，-

3

2

)
∴

1

a2

+

3

4b2

=1②
解得a²=4，b²=3
所以椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（2）设直线MN的方程为：x=ky-

6

5

，
联立直线MN和曲线C的方程可得：

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

得：(k2+4)y2-

12

5

ky-

64

25

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
则y1+y2=

12k

5(k2+4)

，y1•y2=-

64

25(k2+4)

则

AM

•

AN

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+

4

5

k(y1+y2)+

16

25

=0
即可得，∠MAN=

π

2

．