Question

椭圆的两焦点坐标分别为F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)，且椭圆过点(1，-

3

2

)．
（1）求椭圆方程；
（2）过点(-

6

5

，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，根据椭圆中三个参数的关系得到a，b的一个等式，再将椭圆过的点代入得到椭圆的另一个关于a，b的等式，解方程组，得到椭圆的方程．
（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系，求出

AM

•

AN

的值，利用向量垂直的充要条件求出∠MAN的大小．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
∵焦点坐标为F1(-

3

，0)与F2(

3

，0)
∴a²=3+b²①
∵椭圆过点(1，-

3

2

)
∴

1

a2

+

3

4b2

=1②
解得a²=4，b²=1；
所以椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（2）设直线MN的方程为：x=ky-

6

5

，
联立直线MN和曲线C的方程可得：

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

得：(k2+4)y2-

12

5

ky-

64

25

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
则y1+y2=

12k

5(k2+4)

，y1•y2=-

64

25(k2+4)

则

AM

•

AN

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+

4

5

k(y1+y2)+

16

25

=0
即可得，∠MAN=

π

2

．

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于一个未知数的方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系找突破口．