Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，b=3，tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）将已知的等式变形得tanA+tanB=

3

（1-tanAtanB），利用两角和与差的正切公式化简tan（A+B），代入前面的等式即可求出tan（A+B）的值；
（II）由tan（A+B）的值结合三角形内角的范围，求出A+B的度数，得出C=

π

3

，结合a=2且b=3利用正弦定理的三角形面积公式，即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（I）∵tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB=

3

（1-tanAtanB）
∴由两角和的正切公式，可得
tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3 (1-tanAtanB)

1-tanAtanB

=

3

；
（II）由（I）及A和B都为三角形的内角，得到A+B=

π

3

，
∴C=π-（A+B）=

2π

3

，
因此，△ABC的面积S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×3×

3

2

=

3 3

2

．

点评：本题给出三角形的两条边长和角A、B的正切之间的关系，求三角形的面积．考查了两角和与差的正切函数公式、余弦定理、三角形的面积公式和特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．