Question

【题目】【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，短轴长为，已知是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程;

（2）若抛物线的准线上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1） ， （2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据离心率为及短轴长为，结合，即可求出椭圆的方程，从而求出坐标，可得抛物线的方程；（2）设直线方程为，与直线的方程联立，可得点坐标，再联立跟椭圆方程消去，可得点坐标，从而求出直线的方程，得点，再根据的面积为，即可求出直线的方程.

试题解析：（1）

，所以椭圆方程为

所以抛物线方程为

（2）设直线方程为，与直线的方程联立

可得点，

联立跟椭圆方程消去，整理得，

解得，可得

∵

∴，则直线方程，

令，解得，即

∴有，

整理得, 解得

∴直线的方程为：