题目内容

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为4，D为的CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值．

（1）

证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中点为O₁，以O为原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴AB₁⊥面A₁BD．
（2）设平面A₁AD的法向量为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，? $\text{[math]}$ ，
令z=1，得 $\text{[math]}$ 为平面A₁AD的一个法向量，由（1）知AB₁⊥面A₁BD，
∴ $\text{[math]}$ 为平面A₁AD的法向量， $\text{[math]}$ ，
∴二面角A-A₁D-B的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，即可证明AB₁⊥平面A₁BD；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
点评：熟练掌握：通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法，利用数量积与垂直的关系证明线面垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角．