Question

已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)，(a·b≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若数列{a_n}的前n项和为S_n，{a_n}满足当n＝1时，a₁＝f(1)＝2，当n≥2时，，试给出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由得， 　　若，则，不合题意，故，． 　　由，得　① 　　由对定义域中任意x都成立，得． 　　由此解得　② 　　把②代入①，可得， 　　(2)，即 　　， 　　当时，， 　　当时，， 　　当时，， 　　，由此猜想：． 　　下面用数学归纳法证明：(1)当，等式成立． 　　(2)假设当时，等式成立，就是 　　那么，当时，， 　　 　　 　　这就是说，当时，等式也成立． 　　由(1)和(2)可知，等式对任何都成立，故猜想正确． 　　(2)解法二：，即 　　，即 　　 　　，， 　　由此猜想：． 　　下面用数学归纳法证明：(1)当，等式成立． 　　(2)假设当时，等式成立，就是 　　那么，当时， 　　 　　这就是说，当时，等式也成立． 　　由(1)和(2)可知，等式对任何都成立，故猜想正确．