Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+x²-8x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=x²+2x-8，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）令f′（x）=0，得x=2，由此利用导数性质能求出f（x）在[1，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+x²-8x，∴f′（x）=x²+2x-8．
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜2，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2，
∴函数的单调增区间是（-∞，-4），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．…（6分）
（2）令f′（x）=0，得x=2或x=-4（舍），
∵f（1）=-

20

3

，f（2）=-

28

3

，f（3）=-6，
∴f（x）在[1，3]上的最大值是f（3）=-6，最小值是f（2）=-

28

3

．…（12分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．