Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若，恒成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）

【解析】

（1）按绝对值定义分类讨论后求导数（在定义域内），确定导数的正负，得单调区间；

（2）不等式变形为，设.分类，用特例说明不等式不恒成立，时，求导数，确定的单调性，最值得结论．

（1）当时，

当时，，

，

∴在上单调递减；

当时则在上单调递减，在上单调递增.

，

则在上单调递减，在上单调递增.

综上，在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，

则对恒成立.

即，设.

①当时，，不合题意，舍去；

②当时，.

令，得，.

i）当时，，在上恒成立，

则在上单调递增，∴，成立.

ii）当时，，对，，，

不合题意，舍去.

综上，的最小值为.