Question

【题目】已知正项数列为等比数列，等差数列的前项和为，且满足：

.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求；

（3）设，问是否存在正整数，使得.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列的有关知识建立方程组求解；(2)借助题设运用错位相减法求和；(3)依据题设运用分类整合思想分析推证和探求.

试题解析：

（1）因为数列为等差数列，且，

即，解得，公差为3，．．．．．．．．．．．．．2分

所以，得．．．．．．．．．．．．．．3分

又，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2），．．．．．．．．．①

则，．．．．．．．．．．．．．．②

将①—②得：

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）因为，

当时，，不等，．．．．．．．．．．．9分

当时，，

成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分

当且为奇数时，为偶数，为奇数，

所以为偶数，为奇数，不成立，．．．．．．．．．．．．．12分

当，且为偶数时，若，

即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

得．．．．．．．．．．．．．（*）

因为，所以（*）不成立．．．．．．．15分

综上得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分