Question

4．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）求出函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据最值得A，根据函数周期计算ω，代入特殊点坐标即可求出φ，从而得出f（x）的解析式；
（2）根据正弦函数的单调区间列出不等式解出即可．

解答 解：（1）由函数图象可知f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，周期T=16，
∴A=$\sqrt{2}$，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，
又f（x）过点（2，$\sqrt{2}$），则 $\sqrt{2}=\sqrt{2}sin（\frac{π}{8}×2+φ）$（k∈Z），
∴$\frac{π}{4}+φ=\frac{π}{2}+2kπ$，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{π}{8}x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得：16k-6≤x≤16k+2（k∈Z），
∴f（x）的递增区间为[16k-6，16k+2]（k∈Z）．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，函数解析式的求解，属于中档题．