Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{5}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，等比数列{b_n}的首项b₁=a₂-a₁，公比a₁．
（1）求两数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（2）设f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-4n+2，n为奇数}\\{lo{g}_{2}\frac{{b}_{n}}{5}+n，n为偶数}\end{array}\right.$若存在m∈N^*，使得f（m+11）=2f（m）成立，求数列f（1）+f（2）+…+f（10m）的和．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{5}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，可得当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．利用等比数列{b_n}的通项公式即可得出b_n．
（2）f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n-1，n为奇数}\\{2n-1，n为偶数}\end{array}\right.$．根据存在m∈N^*，使得f（m+11）=2f（m）成立，当m为偶数时，m+11-1=2（2m-1），解得m=4．当m为奇数时，m∈∅．
可得数列f（1）+f（2）+…+f（40）=[f（1）+f（3）+…+f（39）]+[f（2）+f（4）+…+f（40）]，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{5}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
∴当n=1时，a₁=S₁=$\frac{5}{2}-\frac{1}{2}$=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{5}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-$[\frac{5}{2}（n-1）^{2}-\frac{1}{2}（n-1）]$=5n-3．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=5n-3．
等比数列{b_n}的首项b₁=a₂-a₁=7-2=5，公比a₁=2．
∴b_n=5•2^n-1．
（2）f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n-1，n为奇数}\\{2n-1，n为偶数}\end{array}\right.$．
∵存在m∈N^*，使得f（m+11）=2f（m）成立，
∴当m为偶数时，m+11-1=2（2m-1），解得m=4．
当m为奇数时，2（m+11）-1=2（m-1），解得m∈∅．
∴数列f（1）+f（2）+…+f（40）
=[f（1）+f（3）+…+f（39）]+[f（2）+f（4）+…+f（40）]
=[（1-1）+（3-1）+…+（39-1）]+[（2×2-1）+（2×4-1）+…+（2×40-1）]
=（0+2+4+…+38）+（3+7+…+79）
=$\frac{20×（0+38）}{2}$+$\frac{20×（3+79）}{2}$
=380+820
=1200．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．