Question

7．设A为抛物线y²=2px（p＞0）的准线与对称轴的交点，过A作直线交抛物线于B、C，又过焦点F作直线AB的平行线交抛物线于Q、R，求证：|AB|•|AC|=|FQ|•|FR|

Answer 1

分析 由题意，BC，QR的斜率均存在，设BC：y=k（x+$\frac{p}{2}$），x=$\frac{y}{k}$-$\frac{p}{2}$，再利用韦达定理，可得bc=$\frac{{p}^{2}}{k}$，即可证明结论．

解答 证明：由题意，BC，QR的斜率均存在，设为k，则令B（b′，b），C（c′，c），Q（q′，q），R（r′，r），A（-$\frac{p}{2}$，0），F（$\frac{p}{2}$，0），
BC：y=k（x+$\frac{p}{2}$），x=$\frac{y}{k}$-$\frac{p}{2}$，
∴y²=2p（$\frac{y}{k}$-$\frac{p}{2}$），
∴ky²-2py+p²=0，
∴bc=$\frac{{p}^{2}}{k}$，
∴|AB|²|AC|²=[（b′+$\frac{p}{2}$）²+（b-0）²][（c′+$\frac{p}{2}$）²+（c-0）²]
=[（$\frac{b}{k}$）²+b²][（$\frac{c}{k}$）²+c²]=$（1+\frac{1}{{k}^{2}}）$²（bc）²=$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}{p}^{2}}{{k}^{6}}$，
同理，|FQ|²|FR|²=$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}{p}^{2}}{{k}^{6}}$，
∴|AB|•|AC|=|FQ|•|FR|．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．