题目内容
2．已知函数y=f（x），x∈l，若存在x0∈l，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈l，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点，则下列结论中正确的是①②⑤（填上所有正确结论的序号）．①-$\frac{1}{2}$、1是函数f（x）=2x2-1有两个不动点；
②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；
③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；
④函数f（x）=2x2-1共有三个稳定点；
⑤f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x}$的不动点与稳定点相同．
分析 根据已知中函数y=f（x）的不动点和函数y=f（x）的稳定点的定义，逐一判断五个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．
解答 解：①解f（x）=2x2-1=x得：x=-$\frac{1}{2}$，或x=1
故-$\frac{1}{2}$、1是函数f（x）=2x2-1有两个不动点，即①正确；
②若x0为函数y=f（x）的不动点，则f（x0）=x0，
此时f（f（x0））=f（x0）=x0，
则x0必为函数y=f（x）的稳定点，故②正确；
③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0不一定为函数y=f（x）的不动点（见①④结论），故③错误；
④解f（f（x））=2（2x2-1）2-1=x，
即8x4-8x2-x+1=0得：
x=-$\frac{1}{2}$，或x=1，或x=$\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$，或x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$
即函数f（x）=2x2-1共有四个稳定点，故④错误；
⑤若函数f（x）在定义域上单调，则不动点与稳定点相同，
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x}$在定义域上为增函数，
故它的不动点与稳定点相同．
故结论正确的是：①②⑤，
故答案为：①②⑤
点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的零点与方程的根，难度不大，属于中档题．
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