题目内容
【题目】如图1，在梯形
中，
，过
分别作
，
，垂足分别为
.
，
，已知
，将梯形沿
同侧折起，得空间几何体
，如图2.
（1）若
，证明：
平面
.
（2）若
，
，
是线段
上靠近点
的三等分点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接
，证明
平面
内的两条相交直线
，即可证明结论；
（2）过
作
交
于点
，可知
两两垂直，以为坐标原点，以
分别为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量
，求出
即可得答案；
（1）连接，由已知得四边形是正方形，且边长为2，
在题图2中，
，
由已知得
，
，
平面
.
平面，
.
，
，
平面.
（2）在题图2中，
，
，
，即
平面
，
在梯形中，过点
作
交
于点
，连接
，
由题意得
，
，由勾股定理的逆定理可得
，则
，
，
过作交于点，可知两两垂直，
以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
得
取
得.
设
与平面所成的角为
，
，
则
.
【题目】每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；
日平均气温（℃） | 6 | 4 | 2 |
|
|
网上预约订单数 | 100 | 135 | 150 | 185 | 210 |
（1）经数据分析，一天内平均气温
与该出租车公司网约订单数
（份）成线性相关关系，试建立关于
的回归方程，并预测日平均气温为
时,该出租车公司的网约订单数；
（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于
，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.
附：回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
【题目】为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从
两地分别随机抽取了
天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
空气质量指数（AQI） |
|
|
|
空气质量状况 | 优良 | 轻中度污染 | 中度污染 |
（1）试根据样本数据估计
地区当年（
天）的空气质量状况“优良”的天数；
（2）若分别在两地区上述天中，且空气质量指数均不小于
的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.
