Question

已知向量=（2cosx，2sinx），=，函数f（x）=•，（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x₁，x₂，都有成立，当且仅当x₁=x₂时取“=”．求证：当时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中向量=（2cosx，2sinx），=，函数f（x）=•，我们可以求出函数f（x）的解析式，进而根据余弦型函数的对称性得到函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）由（1）中函数f（x）的解析式及可得函数g（x）的解析式，根据函数g（x）的图象关于y轴对称，可得a值，进而根据函数的周期，利用分组求和法可得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3））∵已知对任意实数x₁，x₂，都有成立，可证得当时，当x₁＜x₂时，恒有g（x₁）＜g（x₂）．进而根据函数单调性的定义可得，当时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
解答：解：（1）∵向量=（2cosx，2sinx），=，
又∵f（x）=•，
∴
=． …（4分）
由，得，
即函数f（x）的对称轴方程为．…（6分）
（2）由（1）知
∵函数g（x）的图象关于y轴对称，
∴函数g（x）是偶函数，即a=0．
故…（8分）
又函数g（x）的周期为6，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．
∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010．  …（11分）
（3）∵已知对任意实数x₁，x₂，都有成立
∴对于任意x₁，x₂且x₁＜x₂，由已知得．
∴=
∵，
∴
即当x₁＜x₂时，恒有g（x₁）＜g（x₂）．
所以当时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（16分）
点评：本题考查的知识点是余弦函数的对称性，函数的单调性的性质，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，其中求出函数f（x）的解析式及函数g（x）的解析式是解答本题的关键．