Question

【题目】已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（ ， ）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2 ， 满足4k=k1+k2 ， 试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意可得 ，解得a=2，b=1

所以椭圆C的方程是

（2）解：当k变化时，m2为定值，证明如下：

由 得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2= ，x1x2= …（）

∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，

∴4k= = ，得2kx1x2=m（x1+x2），

将（）代入得：m2= ，

经检验满足△＞0．

【解析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1 ， k2 ， 且4k=k1+k2 ， 求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．