Question

在三棱锥S―ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点．

（1）证明：AC⊥SB；

（2）求二面角N―CM―B的余弦值；

（3）求B点到平面CMN的距离．

Answer 1

解：（1）取AC中点D，连结SD，BD．

（2）取BD中点E，连结NE，则NE//SD．

故由．

在平面ABC内作EF⊥CM于F，连结NF，则由三垂线定理知CM⊥NF，

的平面角．

设

．

又由

，

．

即二面角．

（3）设B点到平面CMN的距离为，由

．

另解：（1）取AC中点O，连结OS、OB，SA=SC，AB=BC，且.

   平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC．

SO平面ABC， SOBO．

以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴的正向，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，，0）S（0，0，），M（1，，0），N（0，，）．

=（-4，0，0），=（0，，）．

=（-4，0，0）（0，，）=0，

．

 (2)由（1）得设为平面CMN的一个法向量，则　  取z=1,x=．

∴　．

又为平面ABC的一个法向量，

 ，   ∴二面角N-CM-B的大小为arccos．

(3)由（1）（2）得 ，为平面CMN的一个法向量

∴点B到平面CMN的距离。