Question

已知在公比不等于1的等比数列{a_n}中，a₂，a₈，a₅成等差数列．
（1）求证：S₄，S₁₀，S₇成等差数列；
（2）若a₁=1，数列{|a_n³|}的前项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得S₄+S₇=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

=

2a1(1-q10)

1-q

=2S₁₀，由此能证明S₄，S₁₀，S₇成等差数列．
（2）由已知得T_n=

1-|q3|n

1-|q3|

，从而2q⁶-q³-1=0，由此能证明T_n＜2．

解答： （1）证明：设数列{a_n}的公比为q（q≠1），
由题意得 2a1q7=a1q+a1q4，（1分）
∴2q⁷=q+q⁴，即2q¹⁰=q⁴+q⁷，
∴S₄+S₇=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

=

a1(2-q4-q7)

1-q

=

a1(2-2q10)

1-q

=

2a1(1-q10)

1-q

=2S₁₀．（5分）
∴S₄，S₁₀，S₇成等差数列．（6分）
（2）证明：依题意得数列{|a_n³|}是首项为1，公比为|q³|的等比数列，
∴T_n=

1-|q3|n

1-|q3|

．（7分）
又由（Ⅰ）得2q⁷=q+q⁴，∴2q⁶-q³-1=0，（8分）
解得q³=1（舍去），q3=-

1

2

．（10分）
∴T_n=

1-|- 1 2 |n

1-|- 1 2 |

=2[1-（

1

2

）ⁿ]＜2．（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．