Question

8．函数f（x）的二次项系数为a，且f（x）＞-2x的解集是（1，3）．若f（x）+6a=0有两个等根，求f（x）解析式．

Answer 1

分析 设函数f（x）=ax²+bx+c，根据f（x）＞-2x的解集是（1，3）．f（x）+6a=0有两个等根，构造关于a，b，c的方程组，解得求出a，b，c的值，进而可得f（x）解析式．

解答 解：设函数f（x）=ax²+bx+c，
∵f（x）＞-2x的解集是（1，3）．
∴ax²+（b+2）x+c＞0的解集是（1，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ 1+3=-\frac{b+2}{a}\\ 1×3=\frac{c}{a}\end{array}\right.$，
又由f（x）+6a=ax²+bx+c+6a=0有两个等根，
故△=b²-4a（c+6a）=0，
解得：a=1（舍去），或a=-$\frac{1}{5}$
b=-$\frac{6}{5}$，c=-$\frac{3}{5}$，
故f（x）=-$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x-$\frac{3}{5}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．