Question

16．如图所示，公园内有一块边长为2a的等边△ABC形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（Ⅰ）设AD=x（x≥a），DE=y，试用x表示y的函数关系式；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC计算可知AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，进而利用余弦定理计算即得结论；
（Ⅱ）通过换元令x²=t及（I）可知y=$\sqrt{t+\frac{4{a}^{2}}{t}-2{a}^{2}}$（a²≤t≤4a²），通过对f（t）=t+$\frac{4{a}^{2}}{t}$-2a²，t∈[a²，4a²]求导可知函数y=f（t）在[a²，2a²]上单调递减、在[2a²，4a²]上单调递增，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意可知a≤x≤2a，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•x•AEsin60°=$\frac{1}{4}$AB²•sin60°，
∴AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，
在△ADE中，由余弦定理得：y²=x²+$\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}$-2a²，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$（a≤x≤2a）；
（Ⅱ）结论：如果DE是灌溉水管，则DE∥BC且$AD=\sqrt{2}a$；如果DE是参观线路，DE为△ABC的边AB或AC的中线．
理由如下：
令x²=t，由（I）可知y=$\sqrt{t+\frac{4{a}^{2}}{t}-2{a}^{2}}$（a²≤t≤4a²），
令f（t）=t+$\frac{4{a}^{2}}{t}$-2a²，t∈[a²，4a²]，则f′（t）=1-$\frac{4{a}^{2}}{{t}^{2}}$，
令f′（t）=0可知t=2a²，
∴函数y=f（t）在[a²，2a²]上单调递减、在[2a²，4a²]上单调递增，
又∵f（a²）=3a²，f（2a²）=2a²，f（4a²）=3a²，
∴当t=2a²即x=$\sqrt{2}$a时，y有最小值$\sqrt{2}a$，
此时AE=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}a$即DE∥BC，且$AD=\sqrt{2}a$；
当t=a²或4a²即x=a或2a时，y有最大值$\sqrt{3}a$，
此时AE=$\frac{2{a}^{2}}{a}$=2a或AE=$\frac{2{a}^{2}}{2a}$=a，即DE为△ABC的边AB或AC的中线．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．