Question

已知函数f（x）=x（a＞0，且a≠1），其中a为常数，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定义域上是增函数，且h'（x）存在零点（h'（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）设A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函数y=g（x）的图象上两点，g'（x）=（g'（x）为g（x）的导函数），证明：m＜x＜n．

Answer 1

【答案】分析：（I）．在（0，+∞）上是增函数，所以≥0在（0，+∞）上恒成立，利用分离参数法求解．
（Ⅱ）由（I），，于是．先证明．等价于mlnn-mlnm-n+m＜0，构造函数r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），
通过求导研究单调性，r（x）在（0，n]上为增函数．因此当m＜n时，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．同理可证．
解答：解：（I）因为．
所以．
因为h（x）在（0，+∞）上是增函数．
所以上恒成立     …（1分）
当．
而x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上的最小值是-1．
于是．（※）
可见
从而由（※）式即得lna≤1．①…..…（4分）
同时，
由，
解得lna≥1②，或lna≤0（因为a＞1，lna＞0，这是不可能的）．
由①②得 lna=1．
此时，h'（x）存在正零点x=1，故a=e即为所求   …（6分）
注：没有提到（验证）lna=1时，h'（x）存在正零点x=1，不扣分．
（II）由（I），，
于是．…（7分）
以下证明．（☆）
（☆）等价于mlnn-mlnm-n+m＜0．…（8分）
构造函数r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），
则r'（x）=lnn-lnx，当x∈（0，n）时，r'（x）＞0，所以r（x）在（0，n]上为增函数．
因此当m＜n时，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．
从而x＞m得到证明．    …（11分）
同理可证．…（12分）
注：没有“综上”等字眼的结论，扣（1分）．
点评：数与函数的单调性的结合是导数最为基本的考查，而函数的恒成立问题常转化为利用相关知识求解函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用，还考查了运用基本知识进行推理论证的能力