题目内容
在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量
=(2sin(A+C)，
)，
=(cos2B，2cos2
-1)，且向量
、
共线．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积V△ABC的最大值．
| m |
| 3 |
| n |
| B |
| 2 |
| m |
| n |
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积V△ABC的最大值．
（1）∵向量
、
共线，
∴2sin（A+C）（2cos2
-1）-
cos2B=0，又A+C=π-B，
∴2sinBcosB-
cos2B，即sin2B=
cos2B，
∴tan2B=
，
又锐角△ABC，得到B∈（0，
），
∴2B∈（0，π），
∴2B=
，故B=
；
（2）由（1）知：B=
，且b=1，
根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-
ac=1，
∴1+
ac=a2+c2≥2ac，即（2-
）ac≤1，ac≤
=2+
，
∴S△ABC=
acsinB=
ac≤
，当且仅当a=c=
时取等号，
∴△ABC的面积最大值为
．
| m |
| n |
∴2sin（A+C）（2cos2
| B |
| 2 |
| 3 |
∴2sinBcosB-
| 3 |
| 3 |
∴tan2B=
| 3 |
又锐角△ABC，得到B∈（0，
| π |
| 2 |
∴2B∈（0，π），
∴2B=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）知：B=
| π |
| 6 |
根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-
| 3 |
∴1+
| 3 |
| 3 |
| 1 | ||
2-
|
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
2+
| ||
| 4 |
| ||||
| 2 |
∴△ABC的面积最大值为
2+
| ||
| 4 |
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