Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*．a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为d_k．
（Ⅰ）若d_k=2k，证明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列（k∈N^*）
（Ⅱ）若对任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列，其公比为q_k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：由题设，可得a_2k+1=2k（k+1），从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²．于是

a2k+1

a2k

=

k+1

k

，

a2k+2

a2k+1

=

k+1

k

，所以

a2k+2

a2k+1

=

a2k+1

a2k

，由此可知当d_k=2k时，对任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列．
（Ⅱ）由题意可知，

a2k+2

a2k+1

=

a2k+1

a2k

=

k+1

k

，从而

a2k+2

a2k

=

(k+1)2

k2

，k∈N*
因此，a2k=

a2k

a2k-2

.

a2k-2

a2k-4

a4

a2

．a2=

k2

(k-1)2

.

(k-1)2

(k-2)2

22

12

.2=2k2．a2k+1=a2k.

k+1

k

=2k(k+1)，k∈N*
再分情况讨论求解．

解答：（Ⅰ）证明：由题设，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*．
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）++（a₃-a₁）
=4k+4（k-1）++4×1
=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²．
于是

a2k+1

a2k

=

k+1

k

，

a2k+2

a2k+1

=

k+1

k

，所以

a2k+2

a2k+1

=

a2k+1

a2k

．
所以d_k=2k时，对任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列．
（Ⅱ）证明：a₁=0，a₂=2，可得a₃=4，从而q1=

4

2

=2，

1

q1-1

=1．由（Ⅰ）有

1

qk-1

=1+k-1=k，得qk=

k+1

k

，k∈N*
所以

a2k+2

a2k+1

=

a2k+1

a2k

=

k+1

k

，从而

a2k+2

a2k

=

(k+1)2

k2

，k∈N*
因此，a2k=

a2k

a2k-2

.

a2k-2

a2k-4

a4

a2

．a2=

k2

(k-1)2

.

(k-1)2

(k-2)2

22

12

.2=2k2．a2k+1=a2k.

k+1

k

=2k(k+1)，k∈N*
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*（2））
若m=1，则2n-

n

k=2

k2

ak

=2．
若m≥2，则

n

k=2

k2

ak

=

m

k=1

(2k)2

a2k

+

m-1

k=1

(2k+1)2

a2k+1

=

m

k=1

4k2

2k2

+

m-1

k=1

4k2+4k+1

2k(k+1)

=2m+

m-1

k=1

[

4k2+4k

2k(k+1)

+

1

2k(k+1)

]=2m+

m-1

k=1

[2+

1

2

(

1

k

-

1

k+1

)]
=2m+2(m-1)+

1

2

(1-

1

m

)=2n-

3

2

-

1

n．

所以2n-

n

k=2

k2

ak

=

3

2

+

1

n

，从而

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

＜2，n=4，6，8
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N^*）

n

k=2

k2

ak

=

2m

k=2

k2

ak

+

(2m+1)

a2m+1

2=4m-

3

2

-

1

2m

+

(2m+1)2

2m(m+1)

=4m+

1

2

-

1

2(m+1)

=2n-

3

2

-

1

n+1

所以2n-

n

k=2

k2

ak

=

3

2

+

1

n+1

，
从而

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

＜2，n=3，5，7
综合（1）（2）可知，对任意n≥2，n∈N^*，有

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

≤2

点评：本题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．