Question

【题目】定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．

（1）设，判断f（x）在上是否是有界函数．若是，说明理由，并写出f（x）所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由．

（2）若函数g（x）＝1＋2x＋a·4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）是有界函数, 所有上界的值的集合为,理由见解析；（2）.

【解析】

（1）先分析得到函数在上是增函数，所以，再利用有界函数的定义判断得解.(2)由题得在上恒成立，所以．令，则，故在上恒成立，再分析函数的最值得解.

（1），则在上是增函数，

所以，

所以，

所以，所以是有界函数．

故所有上界的值的集合为．

（2）因为函数在上是以3为上界的有界函数，

所以在上恒成立，即，所以，所以．

令，则，故在上恒成立，

故，，

即．

故实数的取值范围为．