Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设

(1)若点的坐标为，求椭圆的方程;

(2)若，求椭圆的离心率的取值范围

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）由已知可得，将点代入椭圆方程，联立求得，，则椭圆方程可求；（2）由轴，不妨设，，设，由P在椭圆上，求得，结合，利用向量等式求得Q坐标，结合点Q在椭圆上，列式可得，结合的范围求椭圆C的离心率的取值范围．

(1)∵垂直于轴，且点的坐标为

∴，，解得，

∴椭圆C的方程为.

(2)∵轴，不妨设在轴上方，，，设

∵P在椭圆上，∴.解得，即

∵，由得，

解得，∴

∵点在椭圆上

∴，即

∴，从而

∵，∴

解得

∴椭圆C的离心率的取值范围是.