Question

【题目】已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线过定点，点在圆上，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，求出圆心到直线l的距离，由直线与圆的位置关系可得2×=，代入圆的方程，解可得r的值，即可得答案，

（Ⅱ）根据题意，将直线l1的方程变形可得（x-y）+m（2x+y-3）=0，进而解可得P的坐标，设MN的中点为Q（x，y），分析可得OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，化简可得：（x-）2+（y-）2=，可得点Q的轨迹，据此结合直线与圆的位置关系分析可得答案．

（Ⅰ）根据题意，圆O：x2+y2=r2（r＞0）的圆心为（0，0），半径为r，

则圆心到直线l的距离d==，

若直线l：x+y-1=O截圆O：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为，则有2×=，

解可得r=2，则圆的方程为x2+y2=4；

（Ⅱ）直线l1的方程为（1+2m）x+（m-1）y-3m=0，即（x-y）+m（2x+y-3）=0，

则有，解可得，即P的坐标为（1，1），

设MN的中点为Q（x，y），则|MN|=2|PQ|，

则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，

化简可得：（x-）2+（y-）2=，

则点Q的轨迹为以（，）为圆心，为半径的圆，P到圆心的距离为，

则|PQ|的取值范围为[，]，

则|MN|的取值范围为[-，+]．