Question

【题目】已知无穷数列的前n项和为，记， ，…， 中奇数的个数为．

(Ⅰ)若= n，请写出数列的前5项；

(Ⅱ)求证："为奇数， (i = 2,3,4,...）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；

(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）代入的值，即可求得， ， ， ， ．

（Ⅱ）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明．

（Ⅲ）分当为奇数和当为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式．

试题解析：

（Ⅰ）解： ， ， ， ， ．

（Ⅱ）证明：（充分性）

因为为奇数， 为偶数，

所以，对于任意， 都为奇数．

所以．

所以数列是单调递增数列．

（不必要性）

当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时， 为偶数， 均为奇数，

所以，数列是单调递增数列．

所以“为奇数， 为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件；

综上所述，“为奇数， 为偶数”是“数列是单调递增数列” 的充分不必要条件．

（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，

如果为偶数，

若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；

若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．

所以当为奇数时， 不能为偶数．

（2）当为偶数时，

如果为奇数，

若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；

若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．

所以当为偶数时， 不能为奇数．

综上可得与同奇偶．

所以为偶数．

因为为偶数，所以为偶数．

因为为偶数，且，所以．

因为，且，所以．

以此类推，可得．