Question

已知函数f(x－2)＝ax²－(a－3)x＋(a－2)的图象过点(1，0)，设g(x)＝f[f(x)]，F(x)＝p·g(x)＋q·f(x)(p、q∈R)．

(1)求a的值．

(2)求函数F(x)的解析式．

(3)是否存在实数p(p＞0)和q，使F(x)在区间(－∞，f(2))上是增函数且在(f(2)，0)上是减函数？请证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意知a－(a－3)＋a－2＝0，解得a＝－1; 　　(2)∵a＝－1， 　　∴f(x－2)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，即f(x)＝－x2＋1． 　　∴g(x)＝f[f(x)]＝－x4＋2x2． 　　∴F(x)＝－px4＋(2p－q)x2＋q; 　　(3)∵f(2)＝－3，则可假设存在实数p＞0和q，使得F(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在(－3，0)上是减函数． 　　设x1＜x2，则F(x1)－F(x2)＝(x12－x22)[－p(x12＋x22)＋2p－q]． 　　①当x1、x2∈(－∞，－3)时， 　　∵F(x)是增函数，∴F(x1)－F(x2)＜0． 　　又x12－x22＞0， 　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＜0．　　① 　　又x1＜－3，x2＜－3，∴x12＋x22＞18． 　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＜－18p＋2p－q＝－16p－q．要使①式成立，只需－16p－q≤0． 　　②当x1、x2∈(－3，0)时，F(x)是减函数， 　　∴F(x1)－F(x2)＞0． 　　又x12－x22＞0， 　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＞0．　　② 　　又∵x1、x2∈(－3，0)，∴x12＋x22＜18． 　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＞－18p＋2p－q＝－16p－q． 　　要使②式成立，只需－16p－q≥0． 　　综合①②可知－16p－q＝0，即16p＋q＝0． 　　∴存在实数p和q，使得F(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在(－3，0)上是减函数．