Question

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3

2

ax2，在x=

1

3

时取得极值，若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：利用函数在x=

1

3

时取得极值，可得函数解析式，由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0，构建函数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最值，从而可建立不等式，即可求得实数b的取值范围．

解答：解：∵f′(x)=

3

2+3x

-3ax，由f′(

1

3

)=0，得a=1
∴f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2（3分）
由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0，（4分）
令?(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，则?′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

当x∈[0，

7

3

]时，?'（x）＞0，于是?（x）在[0，

7

3

]上递增；当x∈[

7

3

，1]时，?'（x）＜0，于是?（x）在[

7

3

，1]上递减，而?(

7

3

)＞?(0)，?(

7

3

)＞?(1)（8分）
∴f（x）=-2x+b即?（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于

?(0)=ln2-b≤0 ?( 7 3 )=ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ?(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

，（10分）
解得ln5+

1

2

≤b＜ln(2+

7

)-

7

6

+

2 7

3

（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．