Question

已知函数f(x)=sin

x

2

sin(

π

2

+

x

2

)
（1）求函数f（x）在[-π，0]上的单调区间；
（2）已知角α满足α∈(0，

π

2

)，2f(2α)+4f(

π

2

-2α)=1，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为 

1

2

 sinx，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）在[-π，0]上的单调区间．
（2）由α∈(0，

π

2

)，化简已知的等式可得（cosα+3sinα）（cosα-sinα）=0，故有cosα-sinα=0，sinα=

2

2

，从而得到f(α)=

1

2

sinα 的值．

解答：解：（1）∵f(x)=sin

x

2

sin(

π

2

+

x

2

)=sin

x

2

cos

x

2

=

1

2

sinx，
故 函数f（x）在区间[-π，-

π

2

]单调递减，在区间[-

π

2

，0]单调递增．
（2）∵α∈(0，

π

2

)，2f(2α)+4f(

π

2

-2α)=1，∴sin2α+2sin(

π

2

-2α)=1，
∴2sinαcosα+2（cos²α-sin²α）=1，∴cos²α+2sinαcosα-3sin²α=0，∴（cosα+3sinα）（cosα-sinα）=0，
∴cosα-sinα=0，sinα=

2

2

，∴f(α)=

1

2

sinα=

2

4

．

点评：本题考查二倍角公式，正弦函数的单调性，三角函数的化简求值，求出函数f（x）的解析式，是解题的突破口．