Question

如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEAF，G、H分别是FA、FD的中点，
(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？
(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题设知，FG=GA，FH=HD， 所以GH， 又BC， 故GHBC，所以四边形BCHG是平行四边形。 (Ⅱ)C、D、F、E四点共面，理由如下： 由BE，G是FA的中点知，BEGF，所以EF∥BG， 由(Ⅰ)知BG∥GH，故FH共面， 又点D在直线FH上， 所以C、D、F、E四点共面。 (Ⅲ)连结EG，由AB=BE，BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形， 故BG⊥EA， 由题设知，FA、AD、AB两两垂直， 故AD⊥平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED， 又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE， 由(Ⅰ)知，CH∥BG， 所以CH⊥平面ADE， 由(Ⅱ)知F∈平面CDE，故CH平面CDE， 得平面ADE⊥平面CDE。