Question

设关于x的函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a）．
求：（1）写出f（a）的表达式；
（2）试确定能使f（a）=的a的值，并求此时函数y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的解析式，利用余弦函数的值域为[-1，1]，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，我们分≤-1，-1＜＜1，＞1，三种情况，分别求出函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值，即可得到f（a）的表达式（分段函数的形式）；
（2）根据（1）中函数f（a）的表达式，我们根据分段函数分段处理的原则，分别构造f（a）=的方程，在三种情况下，分别解方程求出满足条件的根，即可得到满足条件的x值，进而得到函数y的最大值．
解答：解：（1）y=2（cosx--．
∵-1≤cosx≤1，
∴
（2）当a≤-2时，f（a）=1，从而f（a）=无解；
当-2＜a＜2时，由得a²+4a-3=0，解之得a=-1或a=-3（舍去）；
当a≥2时，由1-4a=得a=（舍去）．
综上所述a=-1，此时有y=2（cosx+，
当cosx=1时，即x=2kπ（k∈Z）时，y有最大值为5．
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，二次函数在定区间的最值问题，分段函数，函数的值，是函数问题比较综合的考查，有一定的难度，其中（1）的关键是根据余弦函数的值域为[-1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，而（2）的关键是根据分段函数分段处理的原则，分类讨论解方程f（a）=．