Question

设关于x的函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a）．
求：（1）写出f（a）的表达式；
（2）试确定能使f（a）=

1

2

的a的值，并求此时函数y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的解析式，利用余弦函数的值域为[-1，1]，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，我们分

a

2

≤-1，-1＜

a

2

＜1，

a

2

＞1，三种情况，分别求出函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值，即可得到f（a）的表达式（分段函数的形式）；
（2）根据（1）中函数f（a）的表达式，我们根据分段函数分段处理的原则，分别构造f（a）=

1

2

的方程，在三种情况下，分别解方程求出满足条件的根，即可得到满足条件的x值，进而得到函数y的最大值．

解答：解：（1）y=2（cosx-

a

2

)2-

a2+4a+2

2

．
∵-1≤cosx≤1，
∴f(a)=

1，(a≤-2) - a2+4a+2 2 ，(-2＜a＜2) 1-4a，(a≥2).

（2）当a≤-2时，f（a）=1，从而f（a）=

1

2

无解；
当-2＜a＜2时，由-

a2+4a+2

2

=

1

2

得a²+4a-3=0，解之得a=-1或a=-3（舍去）；
当a≥2时，由1-4a=

1

2

得a=

1

8

（舍去）．
综上所述a=-1，此时有y=2（cosx+

1

2

)2+

1

2

，
当cosx=1时，即x=2kπ（k∈Z）时，y有最大值为5．

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，二次函数在定区间的最值问题，分段函数，函数的值，是函数问题比较综合的考查，有一定的难度，其中（1）的关键是根据余弦函数的值域为[-1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，而（2）的关键是根据分段函数分段处理的原则，分类讨论解方程f（a）=

1

2

．