题目内容
（2006•海淀区一模）一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分，某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5，各道题答对与否互不影响．
（Ⅰ）求该同学恰好答对2道选择题和一道填空题的概率；
（Ⅱ）求该同学至多答对4道题的概率；
（Ⅲ）若该同学已经答对了两道填空题，把他这次测验的得分记为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．
（Ⅰ）求该同学恰好答对2道选择题和一道填空题的概率；
（Ⅱ）求该同学至多答对4道题的概率；
（Ⅲ）若该同学已经答对了两道填空题，把他这次测验的得分记为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．
分析：（Ⅰ）该同学恰好答对2道选择题和一道填空题，说明充3个选择题中选2个答对，2道填空中选1个答对，根据相互独立的事件的概率公式进行求解即可；
（Ⅱ）欲求该同学至多答对4道题的概率可利用1减答对5道题的概率即可；
（Ⅲ）ξ的可能取值为40，60，80，100，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式解之即可．
（Ⅱ）欲求该同学至多答对4道题的概率可利用1减答对5道题的概率即可；
（Ⅲ）ξ的可能取值为40，60，80，100，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得：该同学恰好答对2道选择题和一道填空题的概率为P=
(
)2
(
)2=
…3分
（Ⅱ）该同学至多答对4道题的概率为1-(
)3(
)2=
…6分
（Ⅲ）ξ的可能取值为40，60，80，100…7分
P（ξ=40）=(
)3=
…8分
P（ξ=60）=
(
)(
)2=
…9分
P（ξ=80）=
(
)2
=
…10分
P（ξ=100）=(
)3=
…11分
∴ξ的概率分布为
E（ξ）=40×
+60×
+80×
+100×
=88…13分
| C | 2 3 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| C | 1 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 125 |
（Ⅱ）该同学至多答对4道题的概率为1-(
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 109 |
| 125 |
（Ⅲ）ξ的可能取值为40，60，80，100…7分
P（ξ=40）=(
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 125 |
P（ξ=60）=
| C | 1 3 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 12 |
| 125 |
P（ξ=80）=
| C | 2 3 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 48 |
| 125 |
P（ξ=100）=(
| 4 |
| 5 |
| 64 |
| 125 |
∴ξ的概率分布为
| ξ | 40 | 60 | 80 | 100 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 125 |
| 12 |
| 125 |
| 48 |
| 125 |
| 64 |
| 125 |
点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，以及离散型随机变量及其分布列，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
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