Question

已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性.

Answer 1

解：（Ⅰ）解：当时，
所以,因此,即曲线在点处的切线斜率为1.
又，所以曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）因为，
所以，.
令
①当时，，
所以，当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
②当时，由即解得.
(i)当时，，恒成立，此时，函数在(0,+∞)上单调递减；
(ii)当时，，时，，此时，函数单调递减；
（1，）时，，此时，函数单调递增；
（，）时，，此时，函数单调递减.
(iii)当时，由于<0，x∈(0，1)时，g(x)>0，此时，函数单调递减；
x∈(1，+∞)时，，此时，函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在（0,1）上单调递减；函数在(1,+∞)上单调递增；
当时，函数在(0,+∞)上单调递减；
当时，函数在（0,1）上单调递减；函数在（1,）上单调递增；函数在（,+∞）上单调递减.