题目内容
（1）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．如果等和数列{an}的首项a1=a，公和为M，试归纳a2，a3，a4的值，猜想{an}的通项公式．
（2）类比“等和数列”猜想“等积数列”{bn}的首项b1=b，公积为p的通项公式．
（3）利用（1）和（2）探究是否存在一个数列既是“等和数列”；又是“等积数列”．并举例说明．
（2）类比“等和数列”猜想“等积数列”{bn}的首项b1=b，公积为p的通项公式．
（3）利用（1）和（2）探究是否存在一个数列既是“等和数列”；又是“等积数列”．并举例说明．
考点：数列的应用,类比推理
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知得a2=M-a，a3=a，a4=M-a．由此能求出通项公式．
（2）由“等积数列”{bn}的首项b1=b，公积为p，能求出等积数列通项公式．
（3）一个数列既是“等和数列”，又是“等积数列”，必须奇数项相同，同时偶数项也相同，由此能得到常数列an=1既是“等和数列”；又是“等积数列”．
（2）由“等积数列”{bn}的首项b1=b，公积为p，能求出等积数列通项公式．
（3）一个数列既是“等和数列”，又是“等积数列”，必须奇数项相同，同时偶数项也相同，由此能得到常数列an=1既是“等和数列”；又是“等积数列”．
解答：
解：（1）∵等和数列{an}的首项a1=a，公和为M，
∴a2=M-a，a3=a，a4=M-a．（3分）
通项公式为an=
．（4分）
（2）∵“等积数列”{bn}的首项b1=b，公积为p，
∴等积数列通项公式为bn=
．（8分）
（3）由（1）和（2）知：
一个数列既是“等和数列”，又是“等积数列”，
必须奇数项相同，即a=b，
同时偶数项也相同，即M-a=
，
∴p=Ma-a2．
例如不妨取a=b=1，则p=M-1，不妨取p=1，则M=2，
即常数列an=1既是“等和数列”；又是“等积数列”．（13分）
（没有利用（1）和（2）探究扣（3分），没有举例扣2分）
∴a2=M-a，a3=a，a4=M-a．（3分）
通项公式为an=
|
（2）∵“等积数列”{bn}的首项b1=b，公积为p，
∴等积数列通项公式为bn=
|
（3）由（1）和（2）知：
一个数列既是“等和数列”，又是“等积数列”，
必须奇数项相同，即a=b，
同时偶数项也相同，即M-a=
| p |
| q |
∴p=Ma-a2．
例如不妨取a=b=1，则p=M-1，不妨取p=1，则M=2，
即常数列an=1既是“等和数列”；又是“等积数列”．（13分）
（没有利用（1）和（2）探究扣（3分），没有举例扣2分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，探究是否存在一个数列既是“等和数列”，又是“等积数列”，是中档题．
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