Question

设函数f（x）=cosx-

3

sinx+2．
（1）求曲线y=f（x）的对称轴方程；
（2）设△ABC的三边a，b，c对应的角为A，B，C，若f（C）=0，a+b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（

π

6

-x）+2．由

π

6

-x=kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=-

π

3

-kπ，k∈Z．
（2）由f（C）=0，可解得：C=

2π

3

-2kπ，k∈Z，即得C=

2π

3

，由a+b=2得ab≤1，从而可求△ABC面积的最大值为

3

4

．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosx-

3

sinx+2=2sin（

π

6

-x）+2．
∴由

π

6

-x=kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=-

π

3

-kπ，k∈Z．
∴曲线y=f（x）的对称轴方程为x=-

π

3

-kπ，k∈Z．
（2）∵f（C）=0
∴2sin（

π

6

-C）+2=0，可解得：C=

2π

3

-2kπ，k∈Z，
∵0＜C＜π
∴C=

2π

3

∵a+b=2
∴a+b=2≥2

ab

，可解得ab≤1
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

．
∴△ABC面积的最大值为

3

4

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角形面积公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．