Question

已知p：关于x的不等式

∫

x 0

(2t-1)dt-m＞0对任意的x∈[1，2]恒成立；q：f（x）=

x2，x≥0 x-1，x＜0

，且不等式f（m²）＞f（m+2）恒成立，若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,定积分

专题：简易逻辑

分析：通过求定积分由p得，x²-x-m＞0对任意的x∈[1，2]恒成立，从而能得到m＜0；由函数f（x）解析式，能够判断该函数在R上为增函数，所以由q得，m²＞m+2，解得m＞2，或m＜-1，而根据p∨q为真，p∧q为假得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况下m的取值范围再求并集即可．

解答： 解：由∫0x(2t-1)dt-m＞0对任意x∈[1，2]恒成立；
得x²-x-m＞0在x∈[1，2]上恒成立；
又函数y=x²-x-m=(x-

1

2

)2-

1

4

-m在[1，2]上是增函数；
∴其最小值为-m，因此只要-m＞0即可，所以m＜0；
即p：m＜0；
因为y=x²在[0，+∞）上是增函数，∴y=x²≥0；
y=x-1在（-∞，0）上也是增函数，∴y=x-1＜-1；
∴f（x）在R上是增函数，由f（m²）＞f（m+2）可得m²＞m+2；
解得m＞2，或m＜-1；
若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；
∴

m＜0 -1≤m≤2

，或

m≥0 m＞2，或m＜-1

；
∴-1≤m＜0，或m＞2；
∴实数m的取值范围为[-1，0）∪（2，+∞）．

点评：考查定积分的计算，二次函数的单调性，一次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，p∨q．p∧q真假和p，q真假的关系．